Апофеоз алгебры

Дата публикации: Jul 25, 2017 9:11:7 PM

В нашей стране и далеко за ее пределами широкое признание получили результаты исследований отечественных математиков, выдвинутых на соискание Государственной премии Республики Узбекистан в области науки и техники.

Сегодня каждый образованный человек знает и имя Мухаммада аль-Хорезми, увековеченное в термине «алгоритм», и основанную им науку алгебра. До него математика означала в основном геометрию с некоторой дозой теории чисел. Сочинение ученого «Китаб мухтасар ал-джабр ва-л-мукабала» («Краткая книга восполнения и противопоставления») стала, наряду с книгой Эвклида «Начала», тем фундаментом, на котором зиждется здание современной математики. Она была много раз переписана на языке оригинала и в переводе на латинский, в результате чего ее название сократилось до слова «алджабра» - «алгебра».

Аль-Хорезми в своей книге делал акцент на две операции – «алджабр» и «алмукабала», которые, в отличие от арифметики, позволяют выполнять четыре арифметические операции над выражениями, содержащими неизвестную. То была действительно гениальная идея. К сожалению, его непосредственные последователи, ставившие перед собой цель решения кубических уравнений, под алгеброй стали понимать науку об уравнениях. Это было отклонением от главной идеи ученого, считавшего ее наукой об алгебраических операциях и алгебраическом исчислении. Такая трактовка термина держалась вплоть до середины XIX века.

В начале того столетия математики сталкивались с необходимостью работать с объектами, отличными не только от обычных чисел, но и от числовых и буквенных выражений, и над которыми можно выполнять те или иные операции. Например, англичанин Джордж Буль описал алгебру суждений в логике, француз Эварист Галуа работал с «алгеброй» перестановок, которую он назвал группой. В последующем возникли понятия алгебры Клиффорда, алгебры Грассмана и т. п. В результате само слово приобрело еще один, на этот раз нарицательный смысл, означавший систему объектов произвольной природы, над которыми можно выполнять одну или несколько операций.

Невольно вызывает изумление то, насколько Мухаммад аль-Хорезми был прозорлив, вынеся в заглавие своего трактата не понятие уравнения, а именно название пары операций! В дальнейшем вводилось все больше новых типов алгебр. Приятно отметить, что один из них - топологические алгебры Буля - был развит в Ташкенте математиками Узбекистана во главе с академиком Ташмухамедом Сарымсаковым. Монография, написанная им совместно с коллегами, была переиздана в США в переводе на английский язык, затем удостоена Государственной премии имени Абу Райхана Беруни.

В настоящее время это направление математики, основанное нашим великим соотечественником, интенсивно развивается в рамках научной школы, основанной Т. Сарымсаковым и ныне возглавляемой академиком Шавкатом Аюповым. Цикл исследований Ш. Аюпова, К. Кудайбергенова, Б. Омирова и У. Розикова «Развитие теории неассоциативных алгебр, дифференцирований и нелинейных динамических систем» выдвинут на соискание Государственной премии Республики Узбекистан.

Чтобы дать широкому кругу читателей представление о содержании этих работ, желательно совершить еще один экскурс в историю. В алгебре Мухаммада аль-Хорезми главным объектом изучения были числа и операции над ними - сложение и умножение, а также вычитание и деление. Первые два обладают свойствами переместительности и сочетательности, которые на математическом языке называются законами коммутативности и ассоциативности. По мере расширения поля изучаемых объектов возникали те, что не подчинялись этим привычным законам. Таковы, например, известные каждому студенту векторы - их сложение ведет себя с этой точки зрения «хорошо», но умножение уже не обладает ни коммутативностью, ни ассоциативностью.

Важную роль в познании природы играет свойство симметрии, которая отражается в математических моделях. Для выражения наиболее общего понятия симметрии геометрических объектов норвежский ученый Софус Ли ввел понятие непрерывной группы. Такие объекты оказались очень сложными для исследования существовавшими тогда средствами. Тогда математики обратились к идее, вполне аналогичной воззрениям Мухаммада аль-Хорезми - привлечь особую алгебру. Так возникло понятие алгебры Ли. Оказалось, что в этом случае не выполняется закон ассоциативности. В дальнейшем были открыты и другие алгебры такого рода, что обусловило необходимость их изучения в самом общем виде. В настоящее время эта задача успешно развивается именно узбекистанскими математиками. Результаты, полученные Ш. Аюповым вместе с его учениками, уже снискали мировое признание. Более того, успели возникнуть своего рода «филиалы» ташкентской школы неассоциативных алгебр и теории обобщенных дифференцирований в городах Севилья (Испания), Куала-Лумпур (Малайзия), Беркли (США), а также Нукус. К исследованиям наших ученых проявляют интерес научные центры Китая, Южной Кореи, Франции и других стран.

На заре XX века физики начали углубленно изучать микромир - строение атома, природу квантов света и элементарных частиц. При этом было обнаружено, что такие объекты не подчиняются привычным со времен Ньютона законам. Более того, для описания их состояний и движений математические величины типа скаляров и векторов оказались малопригодными. В результате сотрудничества ряда физиков и математиков был разработан специальный математический инструмент для квантовой физики - алгебра фон Неймана. Как заметил читатель, снова алгебра! Воистину это был апофеоз алгебры.

Эффективное приложение математики в новой физике в свою очередь дало толчок к развитию операторных алгебр, в которых не выполняется закон коммутативности. В последующем возникло целое направление - так называемая некоммутативная математика. В самом начале этого процесса узбекские математики во главе с Т. Сарымсаковым поставили цель создания некоммутативной теории вероятностей. В настоящее время в ее развитие вносят важный вклад Ш. Аюпов и его соратники. Признанием этого факта стало избрание ученого действительным членом Всемирной академии наук (TWAS), а также международная конференция, организованная в связи с 100-летием со дня рождения Т. Сарымсакова в Ташкенте в 2015 году. Существенность проводимых нашими математиками исследований отметили все ее участники, включая лауреата Филдсовской медали Ефима Зельманова, который затем пригласил Ш. Аюпова в Калифорнийский университет (Сан-Диего) для ознакомления с ними американских ученых.

Долгое время практическое использование математики ограничивалось, главным образом, физикой, включая астрономию. Большинство представителей этой науки, живших вплоть до рубежа XIX-XX веков, были одновременно и физиками, а многие физики внесли значительный вклад и в математику. Этим и объясняется то, что ученым обеих отраслей присваивается ученая степень доктора физико-математических наук. Разумеется, в настоящее время область применения математики необозримо шире. Например, такие предметы, как эконометрия, социометрия, психометрия основаны на приложении математических методов в соответствующих областях знания. К ним относятся также генетика и популяционная биология. Можно даже утверждать, что в исследованиях по генетике эти методы столь же важны, как в физике.

В нашей стране изучение математических моделей биологических популяций было также инициировано еще в 80-е годы прошлого века академиком Т.Сарымсаковым, предчувствовавшим перспективность этого направления. К настоящему времени и в этой области отечественные ученые вышли на передовые рубежи. И снова оказалось, что в таких исследованиях требуются свои алгебры. В результате возникли баричные, эволюционные, бернштейновские, цепные, стохастические, этерингтоновские алгебры, ныне объединяемые под общим названием генетических. Если большинство их было предложено для изучения в основном статических свойств, то наши математики существенно расширили применимость таких методов, создав динамические модели эволюционных процессов в биологии. Высоко оценены на международном уровне и результаты по генетической алгебре, полученные за последние годы авторами цикла работ, выдвинутых на соискание Государственной премии. Их используют в своих трудах специалисты США, Германии, Италии, Франции, Японии, Великобритании и других стран.

Отрадно, что актуальность и востребованность исследований в этом направлении притягивает очень много талантливой молодежи - бакалавров, магистрантов не только из нашей страны, но и зарубежных университетов. В эти дни в Институте математики Академии наук Узбекистана девять студентов из различных регионов США, приехав в Ташкент при поддержке IRES (Международная исследовательская программа для студентов), осваивают алгебру, или, лучше сказать, разнообразные алгебры, разрабатываемые Ш. Аюповым, К. Кудайбергеновым, Б. Омировым и У. Розиковым.

Можно выразить уверенность в том, что отечественная математика продолжит развиваться. А последователи научной школы Т.Сарымсакова и в дальнейшем достойно будут представлять нашу науку на мировом уровне.

Абдулла Азамов

Президент Узбекского математического общества